Функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) - данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = φ (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Например, О. ф. для у = ax + b (а≠0) является х = (у-b)/a, О. ф. для у = е^х является х = ln у и т.д. Если х = φ(y) есть О. ф. по отношению к у = f (x), то и у = f (x) есть О. ф. по отношению к х = φ(y). Областью определения О. ф. является область значений данной функции, а областью значений О. ф.- область определения данной. Графики двух взаимно обратных функций у = f (x) и у = φ (x) (где независимое переменное обозначено одной и той же буквой х), как, например, у = ax + b и у = (х-b)/a, у = е^х и у = ln х, симметричны по отношению к биссектрисе у = х первого и третьего координатных углов. Функция, обратная по отношению к однозначной функии, может быть многозначной (ср., например, функции х² и ). Для однозначности О. ф. необходимо и достаточно, чтобы данная функция у = f (x) принимала различные значения для различных значений аргумента. Для непрерывной функции последнее условие может выполняться только в том случае, если данная функция монотонна (имеются в виду функции действительного аргумента, принимающие действительные значения). О. ф. по отношению к непрерывной и монотонной функции однозначна, непрерывна и монотонна.

Если данная функция кусочно монотонна, то, разбивая область её определения на участки её монотонности, получают однозначные ветви О. ф. Так, одним из участков монотонности для sin х служит интервал - π/2< x < π/2; ему соответствует т. н. главная ветвь arc sin х обратной функции Arc sin х. Для пары однозначных взаимно обратных функций имеют место соотношения φ[f (x)]=x и f [φ(x)] = х, первое из которых справедливо для всех значений х из области определения функции f (x), а второе - для всех значений х из области определения функции φ (x); например, e^lnx = х (х > 0), 1n (e^x) = х (- ∞ < х < ∞). Иногда функцию, обратную к f (x) =у, обозначают f^{- -1}(y) = х, так что для непрерывной и монотонной функции f (x):

F ^-1[f (x)]=f [f ^-1) x)]=x.

Вообще же f ^--1[f (x)] представляет собой многозначную функцию от х, одним из значений которой является х; так, для f (x) = x², х (≠ 0) является лишь одним из двух значений f ^--1[f (x)] = √x² (другое: -х); для f (x) = sin х, х является лишь одним из бесконечного множества значений

f^{- -1}[f (x)] = Arc sin [sin x] = (-1) ⁿ x + nπ,

n = 0, ± 1, ± 2,....

Если у = f (x) непрерывна и монотонна в окрестности точки х = x₀ и дифференцируема при х = x₀, причём f'(x₀) ≠ 0, то f ^--1(y) дифференцируема при у = у₀ и

(формула дифференцирования О. ф.). Так, для -π/2 < х < π/2, у = f (x) = sin х непрерывна и монотонна, f'(x) = cos х ≠ 0 и f^{- -1}(y)= arc sin у (-1< y <1) дифференцируема, причём

где имеется в виду положительное значение корня (так как cos х > 0 для -π/2 < х < π/2).

распространение действия закона на отношения, возникшие до его издания. Как правило, закон обратной силы не имеет, т. е. он применяется только к отношениям, правам и обязанностям, которые возникли после вступления данного закона в силу. Это вносит определённость и устойчивость в общественную жизнь, в осуществление правовых предписаний, создаёт у граждан уверенность в незыблемости их прав и обязанностей, предусмотренных действующими законами. При необходимости законодатель может специальным указанием придать тому или иному закону (иногда некоторым статьям закона) обратную силу, т. е. распространить вновь принятый закон на отношения, которые возникли ранее. В СССР обратная сила придаётся также уголовным законам, устраняющим наказуемость деяния или смягчающим меру наказания. В этом проявляется гуманизм советского права, исходящего из нецелесообразности наказывать вообще (или наказывать столь же строго) за действие, которое ранее считалось преступлением, а к моменту выхода нового закона потеряло прежний социально опасный характер. Наряду с принципом О. с. з. (т. н. ретроактивность) возможно также "переживание старого закона", т. е. распространение действия закона, потерявшего силу, на отношения, имеющие место после его отмены (т. н. ультраактивность).